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陳建忠　史耀武　趙海燕

　　摘要　對動鐵分磁式弧焊變壓器進行了優(yōu)化設(shè)計。壽命經(jīng)濟變壓器的數(shù)學模型同時考慮了變壓器的成本和效率，在整個壽命周期內(nèi)消耗的社會財富最少。采用了混合罰函數(shù)法、混合離散變量法和改進正交優(yōu)化法進行優(yōu)化計算，結(jié)果表明，壽命經(jīng)濟變壓器的功率因數(shù)十分重要；設(shè)計工作中應(yīng)遵循一些原則。討論了三種優(yōu)化方法的優(yōu)缺點。*展望了弧焊變壓器優(yōu)化設(shè)計的前景。
　　關(guān)鍵詞：焊接變壓器　優(yōu)化設(shè)計　懲罰函數(shù)法　混合離散變量法　正交優(yōu)化法

Optimum Design of Welding Transformer

Chen Jianzhong (Xian Jiaotong University　710049　China)
Shi Yaowu (Beijing Polytechnic University　100022　China)
Zhao Haiyan (Qinghua University　100084　China)

　　Abstract　Optimum design of movable-core-shunting arc welding transformer is carried out in the present paper. A mathematics model of Economical-through-life transformer, considering both product cost and operating losses, is established. Mixed penalty function method,mixed discrete continuous variables method and improved orthogonal method are employed to conduct the optimization calculations. Results show that the power factor is quite important in an Economical-through-Life transformer, and that some principles must be followed in the design work. Also discussed are the advantages and disadvantages of the three methods.In the end, the prospect of optimum design of welding transformer is reviewed.
　　Keywords: Welding transformer　Optimum design　Penalty function method　Mixed discrete continuous variables method　Orthogonal design
　　
　　
1　概述
　　弧焊變壓器用于各式各樣的焊接電源中，在工業(yè)中應(yīng)用很廣泛，數(shù)量多，產(chǎn)量大，它的生產(chǎn)和使用消耗著大量的材料(包括銅材和鐵材)和電能。優(yōu)化設(shè)計是近年來興起的一種現(xiàn)代化的設(shè)計方法，它通過對產(chǎn)品結(jié)構(gòu)的合理設(shè)計來達到經(jīng)濟高效的目的。將優(yōu)化設(shè)計用于弧焊變壓器，可望得到低成本高效率的產(chǎn)品，降低能源和材料消耗。
　　電力變壓器容量大，結(jié)構(gòu)復雜，優(yōu)化設(shè)計可能取得巨大的經(jīng)濟效益，成為變壓器的優(yōu)化設(shè)計主要目標^［1，2］。Basak等^［3，4］發(fā)展了一個軟件包，分析了變壓器鐵心中的磁通和損耗分布。Lee等^［5］用有限元法對變壓器的鐵心形狀進行設(shè)計，減少了鐵損。近年來又發(fā)展了很多新的優(yōu)化方法應(yīng)用于變壓器。Alotto等人^［6］用自適應(yīng)模擬退火算法進行了變壓器的設(shè)計。Bai等人^［7］將遺傳算法應(yīng)用于大型變壓器的優(yōu)化設(shè)計。比較而言，焊接變壓器的優(yōu)化設(shè)計工作開展得不是很深入，這是因為焊接變壓器是高漏抗變壓器，它的優(yōu)化設(shè)計比較困難。
　　本文對動鐵分磁式弧焊變壓器進行了優(yōu)化設(shè)計計算，建立了壽命經(jīng)濟變壓器的數(shù)學模型，同時考慮了制造成本和后期運行損耗，采用了混合罰函數(shù)法(MPF)、混合離散變量法(MDCV)和改進正交優(yōu)化法(IOD)進行計算，較好地處理了離散變量，并在整個可行域內(nèi)均勻地布置初始點，找到了較為接近全局*解的設(shè)計方案。
2　梯形動鐵分磁式弧焊變壓器的數(shù)學模型
　　圖1示出了弧焊變壓器的結(jié)構(gòu)。下面建立它的數(shù)學模型。

圖1　梯形動鐵分磁式弧焊變壓器的結(jié)構(gòu)
Fig.1　The geometrical structure of trapezoid movable-core-shunting welding transformer

2.1　目標函數(shù)^［8］
　　合理選擇目標函數(shù)非常重要，不同的目標函數(shù)會得到不同的*方案。可以選擇變壓器的重量作為目標函數(shù)，如軍用、空間等設(shè)備中的變壓器。一般常將效率作為目標函數(shù)

式中　η ——變壓器效率
　　　P₂，　P_Fe，　P_Cu——變壓器的次級功率、鐵損和銅損
也可將變壓器的成本作為目標函數(shù)

minf₂(x)=C_FeG_Fe+C_CuG_Cu(2)

式中　C_Fe,G_Fe,C_Cu,G_Cu——鐵價、鐵重、銅價、銅重
　　式(1)對效率進行優(yōu)化，得到的變壓器有著較低的運行損耗，但成本卻可能偏高；式(2)對成本進行優(yōu)化，得到的變壓器成本低，但效率可能差強人意。當然，可以在約束條件里分別考慮成本和效率，但此時只能取固定值，并不是成本和效率組合*。最理想的情況是將成本和效率都放進目標函數(shù)，尋求它們的*配合。
　　顯然，變壓器從生產(chǎn)到使用的過程中，都在不斷地消耗社會財富。生產(chǎn)中的消耗表現(xiàn)為成本，而使用中的消耗表現(xiàn)為電能的消費，這兩者都同用戶直接相關(guān)。一部分電能用于焊接電弧，這部分電能不能??；而另一部分電能因為損耗而轉(zhuǎn)化為熱能，卻有可能通過變壓器的合理設(shè)計予以降低。從式(1)也可看出，損耗越小，變壓器效率越高。
　　為了簡化計算，假定變壓器工作于額定負載。損耗可表示為

f₃(x)=H〔(P_Fe+P_Cu)FS_N+(1-FS_N)P_Fe〕C_e(3)

式中　H——變壓器的壽命
　　　FS_N——額定暫載率
　　　C_e——電費
這樣，成本和效率的*配合可表示為

minf(x)=c₂f₂(x)+c₃f₃(x)(4)

式中　c₂，c₃——資金的時間系數(shù)
　　式(4)描述的變壓器從生產(chǎn)、服役到報廢的整個壽命周期中消耗的社會財富最少，我們稱之為壽命經(jīng)濟變壓器。
2.2　約束條件和設(shè)計變量
　　變壓器的性能必須滿足使用要求和部頒標準，包括空載電流、電流調(diào)節(jié)范圍、電流調(diào)節(jié)線性度、功率因數(shù)、許用電流密度等。另外，變壓器的結(jié)構(gòu)必須合理，且滿足工藝性要求。還要具體考慮變壓器的使用場合，對絕緣等級提出要求。這些組成了約束條件，一共是13個。需要指出的是，對于壽命經(jīng)濟變壓器，成本和效率約束不再必要。變壓器的設(shè)計變量為

x=〔c₁,d₁,c₂,d₂,B_m,K,L,H,Δ,δ,K_ba〕_T(5)

式中　c₁,d₁,c₂,d₂——一次和二次導線的尺寸
　　　B_m——磁場強度
　　　K——銅鐵比系數(shù)
　　　L,H——鐵心窗口的尺寸
　　　Δ——梯形的上下底之差
　　　δ——靜鐵心和動鐵心之間的最小間隙
　　　K_ba——靜鐵心的寬厚比
2.3　目標函數(shù)值的估計
　　具體到本問題，可以估算目標函數(shù)的極值范圍。變壓器的功率因數(shù)和效率滿足

從式(6)和式(7)，我們有

代入式(3)，可以估算目標函數(shù)的極值。
　　
3　結(jié)果和討論
3.1　計算結(jié)果
　　用MPF計算獲得了25個較好方案，其中5個列于表1。注意表1是未經(jīng)圓整的結(jié)果。對一個電磁方案分別使用MPF(圓整解)、MDCV和IOD，優(yōu)化結(jié)果對比示于表2。表1和表2中的優(yōu)化結(jié)果都比較接近，利用2.3中所述的方法進行目標函數(shù)值的估算，發(fā)現(xiàn)這些結(jié)果都接近理論*值。在IOD中，優(yōu)化計算采用了兩步：*步，將所有的變量都分成13個水平進行*輪計算，分析計算結(jié)果，找出對目標函數(shù)影響顯著的5個變量，如表3所示，方差分析得到的F比值較大的c₁，d₂，B_m，K和L是顯著變量；第二步，進一步對顯著變量進行細分，每個再分為5個水平，其他變量取固定值，進行第二輪優(yōu)化計算。

表1　MPF的5個優(yōu)化方案
Tab.1　Five optimum results of mixed penalty function method

設(shè)計變量	方案1	方案2	方案3	方案4	方案5
c₁／mm	9.41	8.61	8.76	9.74	9.17
d₁／mm	1.83	2.08	2.15	1.88	1.87
c₂／mm	9.75	9.56	9.05	9.30	9.86
d₂／mm	2.66	2.65	2.73	2.68	2.69
B_m／T	1.41	1.40	1.40	1.37	1.36
K	2.48	2.57	2.56	2.51	2.52
L／mm	20.8	19.4	20.1	19.9	22.0
H／mm	12.3	13.4	12.4	12.6	13.0
δ／mm	0.15	0.144	0.14	0.16	0.13
Δ／mm	1.50	1.49	2.52	1.48	1.26
Κ_ba	2.77	3.07	3.10	3.21	3.00
目標函數(shù)值／元	16702	16736	16721	16726	16802

　　除了*方案外，通過對*方案的分析，可以得出一些焊接變壓器設(shè)計應(yīng)遵循的原則：
　　(1) 壽命經(jīng)濟變壓器的功率因數(shù)很重要。圖2中數(shù)據(jù)點代表了不同電磁方案的變壓器，這些變壓器的電氣參數(shù)差異很小，如表4所示，從使用的角度來看，它們是基本相同的。然而圖2表明，這些變壓器的功率因數(shù)變化1%時，目標函數(shù)值變化了約12%。由此可見，功率因數(shù)約束是一個主要約束，

表2　三種優(yōu)化方法的結(jié)果
Tab.2　Results of the three optimization methods

設(shè)計變量	原始方案	MPF	MDCV	IOD
c₁／mm	9.30	9.30	9.30	7.40
d₁／mm	2.26	1.95	1.95	2.83
c₂／mm	10.00	10.0	11.60	7.40
d₂／mm	3.05	2.83	3.05	3.05
B_m／T	1.33	1.33	1.32	1.32
K	2.01	2.58	2.75	2.30
L／mm	205.0	216.0	180.0	220.0
H／mm	136.0	157.0	140.0	180.0
δ／mm	0.9	0.14	0.15	0.13
Δ／mm	1.60	1.59	1.45	1.68
Κ_ba	1.86	3.95	2.52	3.75
目標函數(shù)值／元	17450.8	17062.5	17104.0	16927.8

表3　IOD的*輪結(jié)果及分析
Tab.3　Optimum result using improved orthogonal design
after the first run and the analysis upon the result

設(shè)計變量	優(yōu)化結(jié)果	F	目標函數(shù)值
c₁／mm	6.90	1.49	17347.6
d₁／mm	2.83	1.07
c₂／mm	7.40	1.01
d₂／mm	3.05	3.26
B_m／T	1.30	1.18
K	2.33	1.13
L／mm	220	1.61
H／mm	180	1.05
δ／mm	0.13	1.07
Δ／mm	1.78	1.10
Κ_ba	3.75	1.00

表4　圖2中變壓器電氣參數(shù)的差異
Tab.4　Difference of electrical parameters of transformer illustrated in Fig.2

電氣參數(shù)	初級空載電流	次級最大電流	次級最小電流	次級中間電流
差異	0.6	10.0	10.0	1.0

圖2　功率因數(shù)和目標函數(shù)的關(guān)系
Fig.2　Relationship between power factor and objective function

比較難以滿足；若能采取適當措施提高變壓器的功率因數(shù)，勢必大大降低目標函數(shù)的極值。這是動鐵分磁式弧焊變壓器設(shè)計的關(guān)鍵之一。
　　(2) 討論一下電流線性度和梯形動鐵心形狀之間的關(guān)系。電流線性度用l表示l=(I_2max-I_2min)／2-I_2Z 梯形動鐵心的形狀用角θ來表征，如圖3所示。關(guān)于θ和電流線性度的關(guān)系有很多不同的觀點。有人認為θ=3°18′時線性度*，有人認為θ=3°35′時*。我們統(tǒng)計了用MFP計算的25個較優(yōu)方案，如圖4所示，發(fā)現(xiàn)θ值和電流線性度之間并無明顯關(guān)系：不同的方案有不同的θ值，點的分散性很大；25個方案中*的5個方案θ值都較小，約為2°50′。我們認為，電流線性度和包括梯形形狀在內(nèi)的幾個因素有關(guān)，具體關(guān)系還需進一步研究。

圖3　梯形動鐵心的形狀
Fig.3　The shape of trapezoid movable-core

圖4　梯形形狀和電流線性度的關(guān)系
Fig.4　Relationship between the shape of trapezoid and linearity of welding current

　　(3) 本臺變壓器的磁密在1.40T附近。增加磁密能夠減小鐵心和銅線的重量，使變壓器重量降低，成本降低，但同時也使比損耗增加。因此過大的磁密會使變壓器效率降低。優(yōu)化方法最終找到的是*磁密。同樣，其他參數(shù)如銅鐵重量比系數(shù)、鐵芯厚寬度比系數(shù)等也有類似現(xiàn)象，不再贅述。ｓ

3.2　討論
　　在焊接變壓器電磁方案的優(yōu)化設(shè)計中存在三個主要困難：一是離散變量如導線尺寸、鐵心厚度的處理；二是如何得到全局*解；三是怎樣將優(yōu)化計算和電磁場的有限元分析結(jié)合起來。經(jīng)過大量的設(shè)計計算，發(fā)現(xiàn)MPF、MDCV和IOD在用于動鐵分磁式弧焊變壓器的優(yōu)化設(shè)計時，各有優(yōu)缺點。
　　MPF能自動有效地尋找初始可行點，并且一般能給出一個可行解，最起碼是局部*值，這使它的適應(yīng)性好。但MPF計算得到的設(shè)計變量都是連續(xù)值，應(yīng)用于設(shè)計時離散變量須經(jīng)圓整，帶來如下問題：經(jīng)過圓整，解可能越出了可行域，可行解不再可行；圓整解可能不是*點；在有些情況下，不允許對結(jié)果進行圓整，圓整后結(jié)果失去意義；圓整無規(guī)律可循。
　　MDCV解決了設(shè)計變量取離散值的問題，在計算中允許變量存在離散值。但MDCV算法尋找初始可行點的能力較差，通常需要給出初始可行點。這在方案的改進設(shè)計中不成問題，但在新方案的設(shè)計中，有時會沒有初始可行點。另一個缺點是它極易收斂于局部極值。
　　IOD算法用增廣目標函數(shù)代替原目標函數(shù)，并且采用正交表及其同構(gòu)表安排計算初始點，大大增加了獲得全局*解的可能性。IOD直接計算目標函數(shù)值，對目標函數(shù)的性態(tài)沒有苛刻要求。IOD還有望減少目標函數(shù)的計算次數(shù)，從而有可能使優(yōu)化計算和電磁場的數(shù)值分析相結(jié)合。
　　在實際問題中，建議多種方法的聯(lián)合使用?？梢韵扔肕PF進行尋優(yōu)計算，找到一系列的可行解；再將這些解圓整，代入MDCV進行第二輪尋優(yōu)計算。也可以用IOD來安排初始點，用MDCV進行優(yōu)化；或用MPF來進行尋優(yōu)計算，*用MDCV獲得實用解。
　　計算機技術(shù)和數(shù)學規(guī)劃的發(fā)展，為電磁裝置的優(yōu)化設(shè)計提供了物質(zhì)基礎(chǔ)和理論支持。優(yōu)化設(shè)計的關(guān)鍵，一是所建立的數(shù)學模型能否正確描述實際物理問題；二是尋找適合于該問題的數(shù)學規(guī)劃方法?；『缸儔浩鞯母呗┛棺儔浩鳎潆姎鈪?shù)的精確計算十分困難，以往主要使用經(jīng)驗公式。為了精確建立弧焊變壓器的數(shù)學模型，有必要對其電磁場、漏抗等的分布進行有限元等數(shù)值分析^［9,10］，準確描述變壓器內(nèi)部的電磁現(xiàn)象，定量計算電氣、性能參數(shù)，為優(yōu)化設(shè)計提供依據(jù)。這方面我們已經(jīng)做了一些工作，變壓器的電氣參數(shù)的理論計算值和實測結(jié)果符合得很好^［11］。三維各向異性電磁場的有限元分析規(guī)模巨大，變壓器鐵心的非線性需要迭代求解，而優(yōu)化設(shè)計計算又需要多次計算目標函數(shù)，這樣使計算工作十分艱巨。為此需要尋找合適的優(yōu)化方法，以適應(yīng)有限元計算。盡管困難重重，但隨著計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，相信數(shù)值分析和優(yōu)化設(shè)計的結(jié)合必將給設(shè)計方法帶來一場革命。

4　結(jié)論
　　(1) 建立了壽命經(jīng)濟變壓器的數(shù)學模型。壽命經(jīng)濟的概念既計入了成本又考慮了后期運行損耗(效率)，很適合于電磁裝置等的成本、效率多極值優(yōu)化問題。
　　(2) 壽命經(jīng)濟變壓器的功率因數(shù)對設(shè)計方案影響很大，采取提高功率因數(shù)的措施能有效地提高變壓器的經(jīng)濟效益。
　　(3) 對于工程實際問題，混合罰函數(shù)法、混合離散變量法和改進正交優(yōu)化法各有優(yōu)缺點，這些方法的聯(lián)合使用會使優(yōu)化設(shè)計更加有效和靈活。
　　(4) 為準確進行電磁裝置的優(yōu)化設(shè)計，有必要對其磁場、損耗分布等進行三維有限元分析。

陳建忠　男，1973年生，1995年畢業(yè)于西安交通*，1995年至今攻讀西安交通*材料工程學博士學位，曾從事焊接設(shè)備的優(yōu)化設(shè)計工作，目前主要進行無損檢測方面的工作，包括超聲檢測信號處理、超聲檢測可靠性研究、在國內(nèi)外發(fā)表論文10余篇。
史耀武　男，1940年生，1964年畢業(yè)于西安交通*，1982年在英國Aston*獲得博士學位，現(xiàn)任北京工業(yè)*材料院長，教授、博士導師，兼任*電工技術(shù)學會電焊專委會副主任，研究領(lǐng)域包括材料學、焊接設(shè)備、焊接力學、無損檢測、焊接數(shù)值模擬等方面，在國內(nèi)外發(fā)表學術(shù)論文220余篇。
Chen Jianzhong　was born in 1973. He got his B.E from Xi‘a(chǎn)n Jiaotong University in 1995. Currently he is pursuing his Ph.D degree at the same university. His main research interesting include optimum design of welding equipment, NDT area such as signal processing of ultrasonic testing, reliability of NDT. He has published more than 10 papers in domestic and abroad.
作者單位：陳建忠 (西安交通*　710049)
　　　　　史耀武 (北京工業(yè)*　100022)
　　　　　趙海燕 (清華* 　100084)　

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弧焊變壓器的優(yōu)化設(shè)計